Uma introdução aos sistemas de coordenadas cartesianas

Veja também: Gráficos e tabelas

Esteja você apresentando dados em um gráfico de linha, traçando uma rota de barco ao longo da costa ou simplesmente encontrando a localização de um estacionamento em um mapa de um Parque Nacional, você precisará entender as coordenadas dos pontos.

Um ponto é um localização única qualquer lugar. Pode ser em uma linha reta (uma dimensão), em uma superfície bidimensional ou plano (por exemplo, um ponto em uma folha de papel) ou no espaço tridimensional (como a posição de uma aeronave em vôo em um determinado instante no tempo).

O ponto em si é não dimensional (ou seja, não tem dimensões ou tamanho mensurável). Seu posição é o que é importante. Cada ponto que você pode pensar, cada átomo no espaço, tem seu próprio lugar único ocupado apenas por ele mesmo. Este local pode mudar com o tempo (a aeronave voa de A para B), mas a qualquer momento, ele tem uma localização única. Cada ponto tem um endereço, chamado de coordenadas , que descreve sua localização em relação a outra conhecido localização.



Em um plano bidimensional, um ponto pode ser descrito por um par de coordenadas , dentro de um sistema de coordenadas , como (x, y). Num espaço tridimensional, um ponto pode ser descrito por três coordenadas, por ex. (x, y, z). Os sistemas de coordenadas mais comuns que você provavelmente encontrará são Sistemas de coordenadas cartesianas . Eles são usados ​​onde o plano, a superfície ou o espaço podem ser descritos em dimensões retangulares e planas (como uma caixa ou uma grade quadrada).



No entanto, onde há curvado linhas, superfícies e espaços envolvidos, é necessário usar um sistema derivado de formas circulares. Para saber mais sobre isso, veja nossa página em sistemas de coordenadas polares, esféricas ou cilíndricas .

Coordenadas cartesianas bidimensionais

Um sistema de coordenadas cartesianas em um plano bidimensional é definido por dois eixos perpendiculares.

Em outras palavras, duas linhas traçadas em ângulos retos entre si em uma superfície plana (por exemplo, uma folha de papel plana, um painel fino de vidro ou a superfície de um campo de futebol) fornecem uma grade de referência para cada ponto dessa superfície. Você também pode ver este tipo de sistema referido como um retangular ou ortogonal sistema de coordenadas, porque os eixos de referência são perpendiculares.

o que é a fórmula de bodmas em matemática

Um sistema de coordenadas cartesiano típico é definido pelos eixos xey. Cada eixo tem uma unidade de comprimento ou distância (como metros ou milhas). Qualquer ponto dentro do sistema de coordenadas é descrito por uma distância relativa aos eixos xey, (x, y). Os eixos se cruzam no ponto onde o valor de xey é zero; isso é chamado a origem (0,0) .



Abaixo está um exemplo que mostra as coordenadas de cinco pontos diferentes dentro de um sistema cartesiano bidimensional com os eixos convencionalmente rotulados como x (horizontal) ey (vertical). Cada um dos cinco pontos é definido por dois números, o primeiro dos quais é sua distância perpendicular ao eixo y (seu valor x) e o segundo é sua distância perpendicular ao eixo x (seu valor y). Observe que o direção da origem também é importante, pois isso determinará se os valores de xey são positivos ou negativos.

Exemplos de coordenadas cartesianas

Quando você se depara com um diagrama como o acima, por exemplo, um mapa ou talvez uma coleção de dados, é provável que você precise fazer uma das duas coisas:

  • Ou você tem um ponto em um gráfico e precisa determinar suas coordenadas;
  • Ou você tem as coordenadas e precisa descobrir a localização do ponto.

Determinando as coordenadas de um ponto

Para determinar as coordenadas de um ponto, considere Ponto A no diagrama (marcado em vermelho no quadrante xey positivo, ou Quadrante 1). Primeiro, meça o quão longe está ao longo do eixo x da origem, ou seja, sua distância perpendicular do eixo y. Isso fornece sua coordenada x, que tem um valor de 2. Em seguida, meça a que distância o ponto está ao longo do eixo y, em uma direção perpendicular ao eixo x. Isso dá sua coordenada y, que tem um valor de 3.



As coordenadas de Ponto A são, portanto, (2,3).

Encontrar a localização de um ponto a partir de suas coordenadas

Na segunda instância, você pode receber as coordenadas (−5,5, −1,5) e precisar encontrar a posição desse ponto no gráfico ou mapa. Nesse caso, você primeiro viaja ao longo do eixo x negativo até atingir o valor −5,5. Em seguida, a partir dessa posição, mova em uma direção perpendicular -1,5 unidades, ou seja, 1,5 unidades paralelas ao eixo y negativo e marque o seu ponto. Alternativamente, você pode desenhar uma linha vertical em x = −5,5 e uma linha horizontal em y = −1,5.

Onde as duas linhas se cruzam é ​​o ponto (−5,5, −1,5), que é mostrado no diagrama como Ponto B , no quadrante 3.



Aviso! A sequência é significativa!


Ao ler ou escrever coordenadas, é muito importante que eles estão sempre na ordem x, y. Olhando para o quadrante 1 no diagrama, você pode ver que Ponto A (2,3) está em uma localização completamente diferente do ponto (3,2)!

Eixos de Coordenadas: Uma Convenção Importante

Os sistemas de coordenadas cartesianas costumam ter eixos rotulados xey, mas nem sempre é esse o caso. No entanto, é importante distinguir claramente um do outro, pois o ponto (x, y) não é o mesmo que o ponto (y, x).

No uso comum, o eixo horizontal (x) é chamado de abscissa e o eixo vertical (y) é chamado de ordenar . A abscissa e a ordenada são a primeira e a segunda coordenadas de qualquer ponto no sistema de coordenadas, independentemente de os eixos serem rotulados como xey ou qualquer outra coisa.

Se você achar difícil lembrar qual dos eixos é o PARA bscissa ou OU rdine, lembre-se que no alfabeto, x vem antes de y e A vem antes de O . Você também pode imaginar indo PARA longo o corredor, em seguida, suba as escadas!



Coordenadas cartesianas tridimensionais

Em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, a posição do ponto no espaço precisa ser descrita por três coordenadas, normalmente (x, y, z). Em um sistema bidimensional, o ponto está em algum lugar em um plano plano. No entanto, um plano tem apenas um comprimento e uma largura, enquanto um espaço tridimensional também deve ter uma altura ou uma profundidade. Neste caso, você pode imaginar o ponto como estando em algum lugar dentro de uma caixa retangular.

As primeiras duas coordenadas, x e y, são determinadas da mesma maneira que em um sistema bidimensional. Eles descrevem a posição do ponto se ele for projetado para baixo (ou para cima) em ângulos retos no plano x-y. Para facilitar a visualização, imagine-se segurando uma bola na mão, o braço estendido na altura do ombro. A bola é o seu ponto. Se você deixar a bola cair, ela quica no chão, imediatamente abaixo da posição da sua mão. Se o solo é o plano x-y, o ponto em que a bola quica é a coordenada do ponto (x, y).

O sistema tridimensional também possui um eixo z, que fica perpendicular ao plano x-y. A posição acima do solo em que você estava segurando a bola é a coordenada z. A origem de um sistema cartesiano tridimensional é o ponto em que x, y e z são todos iguais a zero (0,0,0).

Em termos matemáticos, um ponto P em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional típico é mostrado no diagrama abaixo. P é equivalente à bola em nosso exemplo.

Coordenadas cartesianas tridimensionais

É improvável que você precise usar sistemas de coordenadas cartesianas 3D na vida cotidiana, a menos que esteja envolvido com engenharia, física, arquitetura ou outras aplicações de design auxiliado por computador. No entanto, é útil entender como eles funcionam. Muitos pacotes de design e desenho 3D usados ​​em casa trabalham com esses princípios, portanto, um conhecimento básico de geometria espacial costuma ser valioso para usá-los com sucesso.


Aplicações de Coordenadas Cartesianas

Uso de coordenadas cartesianas ao criar gráficos de equações algébricas

Em matemática, haverá momentos em que será necessário traçar um gráfico a partir de uma equação algébrica, para compreender e interpretar totalmente suas características. Uma equação na forma (y ) = ƒ ( (x )), ( (y ) como uma função de (x )), pode ser desenhada em coordenadas cartesianas. Para cada valor de (x ), você pode determinar o valor de (y ) a partir da equação e, portanto, cada ponto no gráfico ( (x ), (y )) pode ser plotado.

O diagrama abaixo ilustra a curva característica da equação quadrática

$$ y = x ^ 2 + 9x + 20 $$

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Gráfico da equação y = x ^ 2 + 9x + 20
Para obter mais informações, consulte nossas páginas em Gráficos e Tabelas e Equações quadráticas .

Aplicação de coordenadas cartesianas para mapear habilidades de leitura

Imagine que um amigo diz

“Vamos nos encontrar no estacionamento da B4437 e depois caminhar até o local do piquenique para almoçar. Podemos ir ao bar mais tarde. É aquele na estrada - se você chegar à igreja, você foi longe demais! ”

Mapa simples mostrando Northings e Eastings para demonstrar as coordenadas.

A ilustração acima mostra um mapa simplista da área.

Hoje em dia, você pode encontrar o caminho para praticamente qualquer lugar, graças à navegação por satélite e aplicativos móveis como o Google Maps. No entanto, ainda é muito útil ter habilidades de leitura de mapas. Você pode se encontrar em uma situação em que não há sinal de celular ou a bateria está fraca.

Cada tipo de mapa terá um chave , que é uma lista de todos os símbolos usados ​​no mapa e o que eles significam, e uma grade numerada, que é única para aquela área. O Ordnance Survey no Reino Unido é um dos produtores de mapas mais conhecidos do mundo. Qualquer local mapeado pelo sistema operacional tem um único referência de grade , que é o seu coordenadas . Independentemente de ser um moinho de vento em Norfolk ou um ponto de triangulação em uma montanha escocesa, você pode encontrá-lo em um mapa se tiver sua referência de grade.

benefícios de trabalhar em grupo

As coordenadas em um mapa são referências de grade de quatro ou seis dígitos. O eixo x cartesiano foi substituído por Eastings e o eixo y por Northings . As coordenadas de um ponto são encontradas da mesma forma que em um sistema cartesiano - ao longo do corredor e suba as escadas !

PARA referência de grade de quatro dígitos dá o quadrado no mapa que contém a localização. As coordenadas são o ponto no canto esquerdo inferior do quadrado. Por exemplo, seu estacionamento pode ser encontrado em 1947 e o pub em 2145.

Mas e se precisarmos de uma descrição muito mais precisa do local? No exemplo, você precisaria saber a localização exata do local do piquenique, já que fica a alguma distância do estacionamento e da estrada. Você precisa de uma referência de grade de seis dígitos neste caso.

PARA referência de grade de seis dígitos é obtido imaginando que cada quadrado da grade é dividido em dez subdivisões, como unidades em um pedaço de papel milimetrado. A referência de grade de quatro dígitos para o local do piquenique é 2048, mas adicionando o número de décimos a 20 e 48, podemos encontrar uma descrição mais precisa do local.

Olhando primeiro para o leste, você pode ver que o local do piquenique está um pouco menos da metade entre 20 e 21, que você pode estimar como sendo cerca de 20,4, ou quatro décimos de 20. Os primeiros três dígitos de sua referência de grade são, portanto, escrito 203. Olhando para o norte, você pode ver que a localização é cerca de um terço do caminho entre 48 e 49, então os segundos três dígitos são 483. O local do piquenique é, portanto, em 203483.

Experimente encontrar a referência de grade para a igreja.

A resposta é 218447.


Conclusão

A propriedade mais importante de um ponto em uma superfície ou no espaço 3D é sua posição exata. Isso pode ser medido usando um sistema de coordenadas, como o sistema cartesiano.

Entender como funcionam os sistemas de coordenadas o ajudará matematicamente ao desenhar gráficos e também pode evitar que você se perca se tiver um mapa com você.


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