Calculando Área

Veja também: Propriedades dos polígonos

A área é uma medida de quanto espaço existe dentro de uma forma. Calcular a área de uma forma ou superfície pode ser útil na vida cotidiana - por exemplo, você pode precisar saber quanta tinta comprar para cobrir uma parede ou quantas sementes de grama você precisa para plantar um gramado.

Esta página cobre o essencial que você precisa saber para entender e calcular as áreas de formas comuns, incluindo quadrados e retângulos, triângulos e círculos.

Calculando a área usando o método de grade

Quando uma forma é desenhada em uma grade em escala, você pode encontrar a área contando o número de quadrados da grade dentro da forma.



Grade numerada para ajudar a calcular a área de uma forma.

Neste exemplo, existem 10 quadrados de grade dentro do retângulo.


Para encontrar um valor de área usando o método da grade, precisamos saber o tamanho que um quadrado da grade representa.

Este exemplo usa centímetros, mas o mesmo método se aplica a qualquer unidade de comprimento ou distância. Você poderia, por exemplo, usar polegadas, metros, milhas, pés, etc.

Usando uma grade para calcular a área de uma forma.



Neste exemplo, cada quadrado da grade tem uma largura de 1 cm e uma altura de 1 cm. Em outras palavras, cada quadrado da grade tem um 'centímetro quadrado'.

Conte os quadrados da grade dentro do grande quadrado para encontrar sua área.

Existem 16 pequenos quadrados, portanto a área do grande quadrado é de 16 centímetros quadrados.



Em matemática, abreviamos 'centímetros quadrados' para cmdois. Odoissignifica 'ao quadrado'.

Cada quadrado da grade tem 1 cmdois.

A área do grande quadrado é de 16 cmdois.


Contar quadrados em uma grade para encontrar a área funciona para todas as formas - desde que os tamanhos da grade sejam conhecidos. No entanto, esse método se torna mais desafiador quando as formas não se ajustam exatamente à grade ou quando você precisa contar frações dos quadrados da grade.

Grade quadrada de 1 cm para ajudar a calcular a área de uma forma.

Neste exemplo, o quadrado não se ajusta exatamente à grade.



Ainda podemos calcular a área contando os quadrados da grade.

  • Existem 25 quadrados de grade completos (sombreados em azul).
  • 10 meios quadrados da grade (sombreados em amarelo) - 10 meios quadrados são o mesmo que 5 quadrados completos.
  • Há também 1 quarto do quadrado (sombreado em verde) - (¼ ou 0,25 de um quadrado inteiro).
  • Adicione todos os quadrados e frações juntos: 25 + 5 + 0,25 = 30,25.

A área deste quadrado é, portanto, 30,25 cmdois.

Você também pode escrever isso como 30¼cmdois.


Embora usar uma grade e contar quadrados dentro de uma forma seja uma maneira muito simples de aprender os conceitos de área, é menos útil para encontrar áreas exatas com formas mais complexas, quando pode haver muitas frações de quadrados de grade para somar.

como trabalhar em equipe

A área pode ser calculada usando fórmulas simples, dependendo do tipo de forma com a qual você está trabalhando.

O restante desta página explica e dá exemplos de como calcular a área de uma forma sem usar o sistema de grade.


Áreas de quadriláteros simples:
Quadrados e retângulos e paralelogramos

Os cálculos de área mais simples (e mais comumente usados) são para quadrados e retângulos.

Para encontrar a área de um retângulo, multiplique sua altura pela largura.

Para um quadrado, você só precisa encontrar o comprimento de um dos lados (já que cada lado tem o mesmo comprimento) e depois multiplicar por ele mesmo para encontrar a área. Isso é o mesmo que dizer comprimentodoisou comprimento ao quadrado.



É uma boa prática verificar se uma forma é na verdade um quadrado medindo dois lados. Por exemplo, a parede de uma sala pode parecer um quadrado, mas quando você a mede, descobre que na verdade é um retângulo.

Diagrama mostrando como calcular a área de quadrados e retângulos.

Freqüentemente, na vida real, as formas podem ser mais complexas. Por exemplo, imagine que você deseja encontrar a área de um piso, para poder encomendar a quantidade certa de carpete.

A planta baixa típica de uma sala não pode consistir em um retângulo ou quadrado simples:

Diagrama para mostrar como calcular a área de uma sala de formato estranho.

Neste exemplo, e em outros exemplos semelhantes, o truque é dividir a forma em vários retângulos (ou quadrados). Não importa como você divide a forma - qualquer uma das três soluções resultará na mesma resposta.

As soluções 1 e 2 requerem que você faça duas formas e some suas áreas para encontrar a área total.

Para a solução 3, você cria uma forma maior (A) e subtrai a forma menor (B) dela para encontrar a área.


Outro problema comum é encontrar a área de uma borda - uma forma dentro de outra forma.

Este exemplo mostra um caminho em torno de um campo - o caminho tem 2 m de largura.

Novamente, há várias maneiras de calcular a área do caminho neste exemplo.

Você pode ver o caminho como quatro retângulos separados, calcular suas dimensões e, em seguida, sua área e, finalmente, somar as áreas para obter um total.

Uma maneira mais rápida seria calcular a área de toda a forma e a área do retângulo interno. Subtraia a área do retângulo interno do todo, deixando a área do caminho.

Diagrama mostrando como calcular a área da borda de uma forma.
  • A área de toda a forma é 16m × 10m = 160mdois.
  • Podemos calcular as dimensões da seção do meio porque sabemos que o caminho ao redor da borda tem 2m de largura.
  • A largura de toda a forma é de 16m e a largura do caminho em toda a forma é de 4m (2m à esquerda da forma e 2m à direita). 16m - 4m = 12m
  • Podemos fazer o mesmo para a altura: 10m - 2m - 2m = 6m
  • Portanto, calculamos que o retângulo do meio é 12m × 6m.
  • A área do retângulo do meio é, portanto: 12m × 6m = 72mdois.
  • Por fim, retiramos a área do retângulo do meio da área de toda a forma. 160 - 72 = 88mdois.

A área do caminho é de 88mdois.


PARA paralelogramo é uma forma de quatro lados com dois pares de lados com comprimento igual - por definição, um retângulo é um tipo de paralelogramo. No entanto, a maioria das pessoas tende a pensar nos paralelogramos como formas de quatro lados com linhas angulares, conforme ilustrado aqui.

Calculando a área de um paralelogramo.

A área de um paralelogramo é calculada da mesma forma que para um retângulo (altura × largura), mas é importante entender que altura não significa o comprimento dos lados verticais (ou não verticais), mas a distância entre os lados.

No diagrama, você pode ver que a altura é a distância entre os lados superior e inferior da forma - não o comprimento do lado.

Pense em uma linha imaginária, em ângulos retos, entre os lados superior e inferior. Essa é a altura.


Áreas de Triângulos

Pode ser útil pensar em um triângulo como a metade de um quadrado ou paralelogramo.

Um triângulo é a metade de um quadrado ou retângulo.

Supondo que você conheça (ou possa medir) as dimensões de um triângulo, você pode calcular rapidamente sua área.

A área de um triângulo é (altura × largura) ÷ 2.

Em outras palavras, você pode calcular a área de um triângulo da mesma maneira que a área de um quadrado ou paralelogramo e, em seguida, basta dividir sua resposta por 2.

A altura de um triângulo é medida como uma linha em ângulo reto da linha inferior (base) até o 'vértice' (ponto superior) do triângulo.

aqui estão alguns exemplos:

Calculando a área de um triângulo

A área dos três triângulos no diagrama acima é a mesma.

Cada triângulo tem largura e altura de 3 cm.

A área é calculada:

(altura × largura) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4,5

A área de cada triângulo é 4,5 cmdois.


Em situações da vida real, você pode se deparar com um problema que exige que você encontre a área de um triângulo, como:

Você quer pintar o fim da empena de um celeiro. Você só quer visitar a loja de decoração uma vez para conseguir a quantidade certa de tinta. Você sabe que um litro de tinta vai cobrir 10mdoisda parede. Quanta tinta você precisa para cobrir a ponta do frontão?

Extremidade do frontão (triângulo)

Você precisa de três medidas:

A - A altura total até o ápice do telhado.

B - A altura das paredes verticais.

C - A largura do edifício.

Neste exemplo, as medidas são:

A - 12,4m

B - 6,6 m

C - 11,6m

O próximo estágio requer alguns cálculos adicionais. Pense na construção como duas formas, um retângulo e um triângulo. A partir das medidas que você tem, você pode calcular a medida adicional necessária para calcular a área da extremidade do frontão.

Divida a forma complexa em formas simples para calcular a área

Medida D = 12,4 - 6,6

D = 5,8m

Agora você pode calcular a área das duas partes da parede:

Área da parte retangular da parede: 6,6 × 11,6 = 76,56mdois

Área da parte triangular da parede: (5,8 × 11,6) ÷ 2 = 33,64mdois

Adicione essas duas áreas para encontrar a área total:

76,56 + 33,64 = 110,2mdois

Como você sabe, um litro de tinta cobre 10mdoisde parede para que possamos calcular quantos litros precisamos comprar:

110,2 ÷ 10 = 11,02 litros.

Na realidade, você pode descobrir que a tinta é vendida apenas em latas de 5 ou 1 litro, o resultado é pouco mais de 11 litros. Você pode ficar tentado a arredondar para 11 litros, mas, supondo que não diluamos a tinta, isso não será o suficiente. Portanto, você provavelmente arredondará para o próximo litro e comprará duas latas de 5 litros e duas de 1 litro, totalizando 12 litros de tinta. Isso permitirá qualquer desperdício e deixará a maior parte de um litro sobrando para retocar em uma data posterior. E não se esqueça, se você precisar aplicar mais de uma demão de tinta, você deve multiplicar a quantidade de tinta para uma demão pelo número de demãos necessárias!


Áreas de Círculos

A fim de calcular a área de um círculo, você precisa saber sua diâmetro ou raio .

Diâmetro e raio de um círculo

O diâmetro de um círculo é o comprimento de uma linha reta de um lado do círculo ao outro que passa pelo ponto central do círculo. O diâmetro é o dobro do comprimento do raio (diâmetro = raio × 2)

O raio de um círculo é o comprimento de uma linha reta do ponto central do círculo até sua borda. O raio é a metade do diâmetro. (raio = diâmetro ÷ 2)

Você pode medir o diâmetro ou raio em qualquer ponto ao redor do círculo - o importante é medir usando uma linha reta que passa pelo (diâmetro) ou termina no (raio) centro do círculo.

Na prática, ao medir círculos, geralmente é mais fácil medir o diâmetro e, em seguida, dividir por 2 para encontrar o raio.

Você precisa do raio para calcular a área de um círculo, a fórmula é:

área do círculo = & pi; Rdois.

Isso significa:

& pi; = Pi é uma constante igual a 3,142.

R = é o raio do círculo.

Rdois(raio ao quadrado) significa raio × raio.


Portanto, um círculo com raio de 5cm tem uma área de:

3,142 × 5 × 5 = 78,55 cmdois.

PARA círculo com um diâmetro de 3m tem uma área:

Primeiro, calculamos o raio (3m ÷ 2 = 1,5m)

Em seguida, aplique a fórmula:

& pi; Rdois

3,142 × 1,5 × 1,5 = 7,0695.

A área de um círculo com diâmetro de 3m é 7,0695mdois.


Exemplo Final

Este exemplo extrai muito do conteúdo desta página para resolver problemas de área simples.

Calculando área - exemplo Bloomington Benjamin House.

Isto é o Ruben M. Benjamin House em Bloomington Illinois, listado no Registro Nacional de Locais Históricos dos Estados Unidos (Número do Registro: 376599).

Este exemplo envolve encontrar a área da frente da casa, a parte de ripas de madeira - excluindo a porta e as janelas. As medidas de que você precisa são:

A - 9,7 m B - 7,6 m
C - 8,8m D - 4,5m
E - 2,3m F - 2,7 m
G - 1,2 m H - 1,0 m

Notas:

  • Todas as medidas são aproximadas.
  • Não há necessidade de se preocupar com a orla ao redor da casa - isso não foi incluído nas medidas.
  • Assumimos que todas as janelas retangulares têm o mesmo tamanho.
  • A medida da janela redonda é o diâmetro da janela.
  • A medição da porta inclui os degraus.

Qual é a área da parte de ripas de madeira da casa?

Funcionamento e respostas abaixo:



Respostas para o exemplo acima

Primeiro, calcule a área da forma principal da casa - que é o retângulo e o triângulo que formam a forma.

O retângulo principal (B × C) 7,6 × 8,8 = 66,88mdois.

A altura do triângulo é (A - B) 9,7 - 7,6 = 2,1.

A área do triângulo é, portanto, (2,1 × C) ÷ 2.
2,1 × 8,8 = 18,48. 18,48 ÷ 2 = 9,24mdois.

A área total combinada da frente da casa é a soma das áreas do retângulo e do triângulo:

66,88 + 9,24 = 76,12mdois.

Em seguida, calcule as áreas das janelas e portas, para que possam ser subtraídas da área total.

A área da porta e degraus é (D × E) 4,5 × 2,3 = 10,35mdois.

o que costuma aumentar o tom e o ritmo de sua voz?

A área de uma janela retangular é (G × F) 1,2 × 2,7 = 3,24 mdois.

Existem cinco janelas retangulares. Multiplique a área de uma janela por 5.

3,24 × 5 = 16,2m2. (a área total das janelas retangulares).

A janela redonda tem um diâmetro de 1m e, portanto, o raio é de 0,5m.

Usando o & pi; Rdois, calcule a área da janela redonda: 3,142 × 0,5 × 0,5 =. 0,7855mdois.

Em seguida, some as áreas da porta e das janelas.

(área da porta) 10,35 + (área das janelas retangulares) 16,2 + (área da janela redonda) 0,7855 = 27,3355

Finalmente, subtraia a área total das janelas e portas da área total.

76,12 - 27,3355 = 48,7845

A área da frente de ripas de madeira da casa, e a resposta para o problema é: 48,7845mdois.

Você pode querer arredondar a resposta para 48,8 mdoisou 49mdois.

Veja nossa página em Estimativa, Aproximação e Arredondamento .

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