Introdução à Álgebra

Veja também: Teoria de conjuntos

Muitas pessoas pensam isso equações e álgebra estão além deles - a ideia de ter que trabalhar com equações os enche de medo. No entanto, não há necessidade de ter medo de equações.

A boa notícia é que as equações são, na verdade, conceitos relativamente simples e, com um pouco de prática e a aplicação de algumas regras simples, você pode aprender a manipulá-los e resolvê-los.

Esta página foi projetada para apresentar a você o básico da álgebra, fazendo com que você se sinta mais confortável resolvendo equações simples.



O que é uma equação?


Uma equação são duas expressões em cada lado de um símbolo que indica sua relação.

Essa relação pode ser igual (=), menor que () ou alguma combinação. Por exemplo, menor ou igual a (≤) ou mesmo diferente de (≠) ou aproximadamente igual a (≈) Estes são conhecidos como igualdade símbolos.

As equações simples, portanto, incluem 2 + 2 = 4 e 5 + 3> 3 + 4.

No entanto, quando a maioria das pessoas fala sobre equações, elas se referem a equações algébricas.

Essas são equações que envolvem letras e também números. As letras são usadas para substituir alguns dos números onde uma expressão numérica seria muito complicada ou onde você deseja generalizar em vez de usar números específicos. Eles também podem ser usados ​​quando você conhece os valores em parte da equação, mas outros são desconhecidos e você precisa resolvê-los.



As equações algébricas são resolvidas calculando os números que as letras representam.

Podemos transformar as duas equações simples acima em equações algébricas substituindo (x ) por um dos números:

2 + 2 = ( boldsymbol {x} )

Sabemos que 2 + 2 = 4, o que significa que (x ) deve ser igual a 4. A solução para a equação é, portanto, ( boldsymbol {x} ) = 4 .

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5 + 3> 3 + ( boldsymbol {x} )



Sabemos que 5 + 3 = 8. A equação nos diz que 8 é maior que (>) 3 + (x ).

Precisamos reorganizar a equação de forma que (x ) esteja de um lado e todos os números do outro, caso contrário, não podemos encontrar o valor de (x ). A regra de reorganizar equações é o que você faz para um lado, você também deve fazer para o outro . Há mais sobre isso abaixo.

Tire 3 de ambos os lados (8 - 3 = 5), então a equação se torna

5> ( boldsymbol {x} )



Podemos ver que (x ) deve ser menor que 5 ( (x )<5 )

Não podemos dizer mais precisamente o que (x ) é com as informações que recebemos. No entanto, na equação inicial que usamos como nosso exemplo, substituímos 4 por (x ), que é de fato menor que 5.

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Não há mágica em usar um 'x' encaracolado ( ({x} )). Você pode usar qualquer letra que quiser, embora ({x} ) e ({Y} ) são comumente usados ​​para representar os elementos desconhecidos das equações.



Variáveis ​​e constantes


Uma letra usada para substituir um número na álgebra é chamada de variável , porque representa números diferentes cada vez que você o usa.

Isso é diferente de uma letra específica que sempre é usada para substituir o mesmo número, como ( pi ) (pi) que é sempre 3,142. Essa carta é chamada de constante .

Em uma equação algébrica, quaisquer números dados também são constantes, porque eles sempre permanecem os mesmos.

Se você precisar resolver uma equação envolvendo uma constante, sempre será informado seu valor.


Termos de uma equação

Um termo é uma parte da equação que é separada de outras partes, geralmente por um símbolo de adição (+) ou subtração (& menos;).

Um grupo de termos é chamado de expressão, como uma frase ou descrição matemática. Algumas expressões matemáticas podem parecer bastante assustadoras, cheias de números e letras, algumas das quais podem até ser gregas. No entanto, a chave é examinar cada termo separadamente e dividi-lo em coisas que você conheça ou que possa resolver. Se você fizer isso, começará a entender que nem sempre é tão difícil quanto você pensava inicialmente.

Os termos podem ser apenas números, ou podem ser apenas letras, ou podem ser uma combinação de letras e números, como 2 ( boldsymbol {x} ), 3 ( boldsymbol {xy} ) ou 4 ( boldsymbol {x} )dois.

Em um termo que envolve letras e números, o número é conhecido como o coeficiente , e a letra é o variável . O coeficiente é simplesmente um 'multiplicador' - ele diz quantos de algo (a variável) você tem nesse termo.

Termos que têm exatamente a mesma variável são considerados termos como , e você pode adicionar, subtrair, multiplicar ou dividi-los como se fossem números simples. Por exemplo:

A equação 2 (x ) + 3 (x ) é igual a 5 (x ), simplesmente 2 lotes de (x ) mais 3 lotes de (x ) para perfazer 5 lotes de ( x ) (5 (x )).

$$ 5xy - xy = 4xy $$ $$ 5y × 3y = 15y ^ 2 $$

Vocês não podes adicionar ou subtrair 'termos diferentes'. No entanto, você pode multiplicá-los combinando variáveis ​​e multiplicando os coeficientes.

Assim, por exemplo, 3 (y ) × 2 (x ) = 6 (xy ) (porque 6 (xy ) significa simplesmente 6 vezes (x ) vezes (y )).

Você pode dividir termos diferentes transformando-os em frações e cancelando-os. Comece com os números, depois com as letras.

Então, por exemplo:

( grande {6xy ÷ 3x} )

$$ frac {6xy} {3x} $$ = $$ frac {2xy} {x} $$ = $$ frac {2y} {1} $$ = $$ 2a $$
Divide top
e inferior
por 3
Divide top
e inferior
por x
O 1 pode ser
ignorado porque
qualquer coisa dividida
por 1 é ele mesmo

Reorganizando e resolvendo equações

Em muitos casos, para resolver uma equação, você provavelmente precisará reorganizar isto. Isso significa que você precisa mover os termos de modo que você termine com apenas os termos envolvendo (x ) em um lado do símbolo de igualdade (como =,> ou<) and all the numbers on the other.

Este processo às vezes é chamado isolando (x ) .

Você pode reorganizar as equações por meio de um conjunto de regras simples:

  1. O que quer que você faça para um lado da equação, você deve faça o mesmo com o outro. Dessa forma, você preserva o relacionamento entre eles. Não importa o que você faça, seja tirar 2, adicionar 57, multiplicar por 150 ou dividir por (x ). Contanto que você faça isso para os dois lados, a equação permanece correta. Pode ser útil pensar em sua equação como um conjunto de escalas ou uma gangorra, que deve estar sempre equilibrada.

  2. Nossa página em Adição explica que não importa a ordem que você adiciona, a resposta ainda é a mesma. Isso significa que você pode reorganizar a expressão para colocar o termos como juntos e tornam mais fácil somar. Isso se aplica á Subtração também, contanto que você se lembre de nossa página em Números Positivos e Negativos aquela subtração é o mesmo que adicionar um número negativo . Portanto, por exemplo, 10 & minus; 3 = 10 + (-3).

  3. Equações funcionam de acordo com BODMAS também, então lembre-se de fazer o cálculo na ordem certa.

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  4. Sempre coloque sua equação da forma mais simples possível: multiplique os colchetes, divida, cancele as frações e adicione / subtraia todos os termos semelhantes.

Exemplos trabalhados:

Tente resolver essas equações para (x ), clique nas caixas para revelar o funcionamento e as respostas.

$$ grande {x + 3 = 5 × 4} $$
  • Como em qualquer cálculo, faça a multiplicação primeiro. 5 × 4 = 20
  • Portanto, (x ) + 3 = 20
  • O próximo passo é tirar três de ambos os lados
  • (x ) + 3 - 3 = 20 - 3
  • 20 - 3 = 17.

Isso deixa você com a resposta: (x ) = 17

$$ grande {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
  • Faça o cálculo no lado direito primeiro, porque não envolve nenhuma letra. Não há colchetes, então é a multiplicação primeiro, depois a adição.
  • 6 × 5 = 30 e 30 + 3 = 33.
  • O cálculo à esquerda é uma adição, então você pode mover os termos, até que tenha todos os números juntos:
    5 + (x ) + 21 = (x ) + 5 + 21
    e 5 + 21 = 26.
  • Então agora você tem 26 + (x ) = 33
  • Agora você pode tirar 26 de ambos os lados
  • 26 + (x ) - 26 = (x ) = 33 - 26
  • E 33 - 26 = 7.

Portanto (x ) = 7

$$ grande {x ^ 2 + 5 = 13 - 4} $$
  • Reorganize para obter todos os números de um lado, retirando cinco de cada lado.
  • Agora você tem
    (x )dois= 13 - 4 - 5, então
  • (x )dois= 4
  • Agora você precisa obter a raiz quadrada de ambos os lados, porque você deseja encontrar o valor de (x ) e não de (x )dois.
  • Você sabe que 2 × 2 = 4, o que significa que a raiz quadrada de 4 = 2

(x ) = 2



Equações e gráficos

Qualquer equação na qual há uma relação entre apenas duas variáveis, (x ) e (y ), pode ser desenhada como um gráfico de linha onde (x ) segue ao longo do eixo horizontal (às vezes chamado de eixo x ) e (y ) no eixo vertical (às vezes chamado de eixo y).

Você pode calcular os pontos em seu gráfico resolvendo a equação para valores específicos de (x ).

Exemplos:

( grande {y = 2x + 3} )
(x ) 0 1 dois 3 4 5 6
calc 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
(Y ) 3 5 7 9 onze 13 quinze
Usando um gráfico para calcular o valor de y com base em qualquer valor de x.

A vantagem de desenhar um gráfico de uma equação é que você pode usá-lo para calcular o valor de (y ) para qualquer valor de (x ), ou mesmo (x ) para qualquer valor de (y ), olhando para o gráfico.

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Neste exemplo, qual é o valor de (x ) quando (y ) = 10?

Mova o eixo y para cima até chegar a 10 e, a seguir, horizontalmente até chegar à linha do gráfico. Nesse ponto, mova para baixo até chegar ao eixo x. Isso é mostrado pelas linhas vermelhas no gráfico e você pode ver que quando (y ) = 10, (x ) = 3,5.


( grande {y = x ^ 2 + x + 4} )

Quando (x ) = 0, (y ) = 0 + 0 + 4 = 4
quando (x ) = 1, (y ) = 1 + 1 + 4 = 6
quando (x ) = 2, (y ) = 4 + 2 + 4 = 10
e assim por diante...

(x ) 0 1 dois 3 4 5 6 7 8 9 10
(Y ) 4 6 10 16 24 3. 4 46 60 76 94 114
Um gráfico em álgebra. Use o valor de x para encontrar o valor de y.

Extrapolar


Outra vantagem de plotar sua equação em um gráfico é que você pode extrapolar seus dados (informações numéricas) para calcular valores maiores de (x ) ou (y ). Extrapolar significa que você estende seu gráfico, continuando a linha que traçou de seus dados, para estimar valores de (x ) e (y ) além da faixa de dados que você já possui.

No primeiro exemplo, a equação produz uma linha reta, portanto, extrapolar este gráfico é simples. Porém, é necessário cuidado ao extrapolar um gráfico que não seja uma linha reta, como no segundo exemplo.


Para concluir

Esta página explicou como resolver equações simples e a relação entre equações e gráficos, oferecendo uma maneira alternativa de resolver equações.

Agora você está pronto para avançar para equações mais complexas, incluindo equações simultâneas e equações quadráticas.


Continua a:
Equações Simultâneas e Quadráticas
Probabilidade e introdução