Introdução à trigonometria

Veja também: Geometria e Introdução

A trigonometria, como o nome pode sugerir, tem tudo a ver com triângulos.

Mais especificamente, trigonometria é sobre triângulos retângulos, onde um dos ângulos internos é 90 °. A trigonometria é um sistema que nos ajuda a descobrir comprimentos laterais ou ângulos ausentes ou desconhecidos em um triângulo.

Há mais sobre triângulos em nossa página em Polígonos caso você precise se atualizar no básico antes de continuar a ler aqui.



Triângulos retos: um lembrete

Um triângulo retângulo possui um único ângulo reto. Por definição, isso significa que todos os lados não podem ter o mesmo comprimento. Um típico triângulo retângulo é mostrado abaixo.

Termos importantes para triângulos retos


Triângulo retângulo mostrando o Oposto, Adjacente e Hipotenusa
  • O ângulo certo é indicado pela pequena caixa no canto.



  • O outro ângulo que (geralmente) sabemos é indicado por θ (theta) .

  • O lado oposto ao ângulo reto, que é o lado mais longo, é chamado de hipotenusa .

  • O lado oposto a θ é chamado de oposto .



  • O lado próximo a θ que não é a hipotenusa é chamado de adjacente .

Teorema de Pitágoras vs. Trigonometria


Pitágoras foi um filósofo grego que viveu há mais de 2500 anos. Ele é creditado com uma série de importantes descobertas matemáticas e científicas, possivelmente a mais significativa das quais se tornou conhecida como Teorema de Pitágoras.

É uma regra importante que se aplica apenas para triângulos retângulos . Isso diz que 'O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.'

Isso parece um tanto complicado, mas na verdade é um conceito bastante simples quando o vemos em um diagrama:

como faço para obter a área de um retângulo
Pitágoras

O teorema de Pitágoras diz:

paradois+ bdois= cdois

Então, se sabemos o comprimento dos dois lados de um triângulo e precisamos calcular o terceiro, podemos usar o teorema de Pitágoras.

No entanto, se conhecermos apenas o comprimento de um lado e um dos ângulos internos, Pitágoras não nos servirá por conta própria e precisaremos usar a trigonometria.


Apresentando Sine, Cosine e Tangent

Existem três funções básicas em trigonometria, cada uma das quais é um lado de um triângulo retângulo dividido por outro.

as quatro categorias de comunicação incluem todos os seguintes, exceto

As três funções são:

Nome Abreviação Relação com os lados do triângulo
Seno Sem Sin (θ) = Oposto / hipotenusa
Cosine Algo Cos (θ) = Adjacente / hipotenusa
Tangente Então Tan (θ) = Oposto / adjacente


Calculando Seno, Cosseno e Tangente

Você pode achar útil lembrar Seno, Cosseno e Tangente como SOH CAH TOA.

Lembrar das funções trigonométricas pode ser difícil e confuso para começar. Mesmo SOH CAH TOA pode ser complicado. Você pode tentar inventar um mnemônico engraçado para ajudá-lo a se lembrar. Basta manter cada grupo de três letras na mesma ordem.



Por exemplo, TOA SOH CAH poderia ser ' T ele OU ld PARA um arqueólogo S no OU n H é C aveia PARA WL H no'.

Melhor dica!


Por causa das relações entre eles, Tan θ também pode ser calculado como:
Sin θ / Cos θ.

Isso significa que:

  • Sin θ = Cos θ × Tan θ e
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trigonometria em um Círculo

Para mais informações sobre círculos, ou uma rápida atualização, consulte nossa página em Círculos e formas curvas .

Ao considerar triângulos, estamos limitados a ângulos menores que 90 °. No entanto, a trigonometria é igualmente aplicável a todos os ângulos, de 0 a 360 °. Para entender como as funções trigonométricas funcionam com ângulos maiores que 90 °, é útil pensar em triângulos construídos dentro de um círculo.

As coordenadas cartesianas de um círculo.



Considere um círculo dividido em quatro quadrantes.

Convencionalmente, o centro do círculo é considerado uma coordenada cartesiana de (0,0). Ou seja, o valor x é 0 e o valor y é 0. Para mais informações, consulte nossa página em Coordenadas cartesianas .

Qualquer coisa à esquerda do centro tem um valor x menor que 0 , ou é negativo, enquanto qualquer coisa à direita tem um valor positivo.

Da mesma forma, qualquer coisa abaixo do ponto central tem um valor y menor que 0 , ou é negativo e qualquer ponto no topo do círculo tem um valor y positivo.


Usando um círculo com funções trigonométricas para ângulos maiores que 90 °.

Diagrama eu mostra o que acontece se desenharmos um raio do centro do círculo para a direita ao longo do eixo x (dizemos que é em uma direção positiva).

Em seguida, giramos o raio no sentido anti-horário por meio de um ângulo teta θ. Isso cria um triângulo retângulo.

Sem θ = oposto (linha vermelha)
hipotenusa (linha azul)

Cos θ = adjacente (linha verde)
hipotenusa (linha azul)

No Diagrama il , giramos o raio ainda mais no sentido anti-horário, passando o vertical (eixo y) para o próximo quadrante. Aqui, θ é um ângulo obtuso, entre 90 ° e 180 °. O ângulo de referência alfa α é igual a 180 ° - θ e é o ângulo agudo dentro do triângulo retângulo.

Sin θ = Sin α = oposto (linha vermelha)
hipotenusa (linha azul)

Ambas as linhas azul e vermelha são positivas, então sin θ é positivo.

Cos θ = −Cos α = adjacente (linha verde)
hipotenusa (linha azul)

Cos θ é negativo, pois a linha verde é negativa (ela está ao longo do eixo x à esquerda da origem (0,0), portanto, está na seção negativa do eixo x).

No Diagrama iii , o raio girou ainda mais no sentido anti-horário para o próximo quadrante, de modo que o valor de θ está entre 180 ° e 270 °. Todas as linhas verde, vermelha e azul têm valores negativos e α = θ - 180 °. Senos e cossenos são, portanto, todos positivos em valor.

Diagrama 4 mostra o quadrante final. O valor de θ está entre 270 ° e 360 ​​°, a linha verde é positiva, mas as linhas vermelha e azul são negativas. Sin θ é, portanto, positivo e Cos θ é negativo. α = 360 ° - θ.


O Círculo de Unidade

O 'Círculo de Unidade' é um caso especial do círculo mostrado nos diagramas acima. O Círculo de Unidade tem um raio de 1.

Ao trabalhar com um círculo unitário, podemos medir cos, sin e tan diretamente:

Seno, Cosseno e Tangente - Círculo de Unidade

Gráficos de seno, cosseno e tangente

A relação entre o ângulo e o sen ou cos pode ser desenhada como um gráfico:

em termos de habilidades de escuta, o que significa "compreensão"?
  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Seno, gráfico de cosseno. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Você pode ver que quando θ é 0, então também é seno. Isso faz sentido quando você olha para o diagrama de círculo unitário acima. Quando θ = 0, o adjacente e a hipotenusa ficam ao longo do eixo x positivo e a linha vermelha que mostra o valor de sen θ desaparece (não há triângulo).

O gráfico do cosseno tem a mesma forma do seno, mas tem um valor de 1 quando θ = 0. Olhando novamente para o círculo acima, quando θ = 0, o adjacente e a hipotenusa estão ambos ao longo do eixo x positivo e têm o mesmo valor, então adjacente / hipotenusa = 1.

A natureza cíclica dos gráficos de seno e cosseno é incrivelmente importante em toda a ciência, natureza e engenharia. Os exemplos incluem aplicações elétricas (corrente alternada), ondas sonoras e de rádio, movimento harmônico simples (como um pêndulo oscilante), a trajetória de satélites ou a subida e descida da maré.

O amplitude de um padrão de onda cíclica é o valor do 'pico' no gráfico, ou seja, a distância do eixo x ao valor máximo ou mínimo. Nos gráficos de Seno e Cosseno acima, a amplitude tem o valor 1. Em aplicações como som ou corrente elétrica, a amplitude varia, dependendo do volume do som ou magnitude da corrente. A amplitude das marés também varia, dependendo da posição da lua e sua 'atração' na terra.

As características do gráfico tangente (tan θ) são bastante diferentes. O gráfico tangente não tem um amplitude (características de onda) porque não tem valores de pico máximo ou mínimo. Ele muda de −∞ para + ∞ (infinito negativo e positivo) passando por 0 a cada 180 °:

Gráfico de retas tangentes.

No infinito (positivo ou negativo) é dito ser Indefinido. Podemos entender esse gráfico melhor quando consideramos a equação tan θ = sin θ / cos θ. Sempre que sin θ for zero, tan θ também deve ser zero. Por outro lado, sempre que cos θ é zero, o denominador na equação torna-se zero. Qualquer coisa dividida por zero tem um valor de infinito, então os valores de θ que têm um cosseno de zero também têm uma tangente de infinito no gráfico. O infinito não tem um valor exato, então as linhas no gráfico tangente se tornam mais e mais verticais conforme o eixo y aumenta para valores cada vez maiores. As linhas ficam cada vez mais próximas das linhas verticais no gráfico para valores particulares de θ, por exemplo, a 90 °. Cada uma dessas linhas verticais é chamada de assíntota .

Inverso de Seno, Cosseno e Tangente

Você também pode calcular a função inversa de sin, cos e tan, o que significa 1 dividido por essa função. Eles são designados como sin / cos / tan -1. Isso permite que você calcule o ângulo se tiver o sin, cos ou tan.

Em outras palavras:

  • Sin (90) = 1
  • Sin - 1 (1) = 90 °

Trigonometria e calculadoras


As calculadoras científicas têm funções sin, cos e tan, bem como funções inversas. Vale a pena dedicar alguns minutos para descobrir como sua calculadora funciona, pois isso pode poupar horas de confusão quando você precisar dela.


Outros triângulos e trigonometria

A trigonometria também funciona para outros triângulos, mas não exatamente da mesma maneira. Em vez disso, existem duas regras baseadas em um triângulo como este:

Triângulos em trigonometria

A regra Sine é:

para/sem um=b/sem B=c/sem C

A regra do cosseno é:

cdois= adois+ bdois- 2ab cos (C)


Por que eu preciso de trigonometria?

Esta é uma pergunta razoável, e a resposta é, pelo menos em parte, porque aqueles que decidem o currículo de matemática em muitos países acham que você deveria conhecê-lo, e por boas razões.

Diz-se que a trigonometria é a relação matemática mais importante já descoberta. Os triângulos são uma das formas mais simples encontradas na natureza, mas sua matemática tem importância vital, especialmente onde medições precisas de distância são necessárias. Quando começamos a pensar sobre as aplicações onde as distâncias precisas são importantes, é aparente que existem dezenas, incluindo navegação em sistemas navais e de aviação, astronomia, sistemas de satélite, levantamentos geográficos e cartografia (mapas), arquitetura e engenharia estrutural, design gráfico e imagens geradas por computador.

Muitos deles contam com uma técnica de medição conhecida como triangulação , que aplica os conceitos de trigonometria.

Exemplo: trigonometria e navegação

Quando você está navegando ou navegando no mar, o local onde você acaba é afetado por:

  • A direção em que você dirige;
  • A velocidade com que você viaja nessa direção (ou seja, o motor ou a velocidade do vento); e
  • A direção e velocidade da maré.

Você pode estar dirigindo em uma direção, mas a maré pode estar vindo de um lado e empurrando você para o outro. Você precisará de trigonometria para calcular a distância que irá viajar e em que direção precisa.

Calculando sua direção de viagem usando trigonometria.

Você terá, muito corretamente, concluído que não é tão simples assim, porque a direção real da viagem depende da velocidade da maré e da sua velocidade, mas você provavelmente pode ver por que a trigonometria pode ser importante!


Exemplo Trabalhado

Você saiu para velejar um dia e realmente não se importa onde vai parar. Você começou rumo ao leste e planeja navegar por uma hora a uma velocidade de cruzeiro de 10 km / h. A maré vai para o norte e segue a 5km / h. Em que direção você vai acabar viajando?

  1. Primeiro desenhe o seu triângulo e etiquete os lados. Você está indo para o leste, então vamos fazer a parte inferior do triângulo, com 10 km de comprimento. A maré vai empurrá-lo para o norte, então vamos ver o lado direito. E você quer saber em que direção vai acabar indo, então esse é o ângulo θ.

    Exemplo de trigonometria
  2. Você tem o oposto e o adjacente, o que significa que você precisa usar a tangente. Tan θ = Oposto / adjacente = 5/10 = 0,5.

  3. Agora é a hora de usar a função tan inversa. O tan inverso de 0,5 é 26,6 °. Em outras palavras, tan 26,6 = 0,5.

  4. Bússola A direção (seu 'rumo' na navegação) é medida a partir do Norte , que é 0 ° em sua bússola. Sua resposta de (3), no entanto, é medida a partir de 90 °, ou Leste. Portanto, você precisará subtrair sua resposta de 90 ° para obter a resposta: Você está viajando em uma direção (rumo) de 63,4 °, que está entre Nordeste (45 °) e Nordeste Leste (67,5 °).

    como entender as emoções dos outros

Por que isso é importante? Você precisará saber em que direção viajou para voltar para casa, é claro!

Na vida real, você também precisará se lembrar que a essa altura a maré pode ter mudado ...


Conclusão

A trigonometria pode não ter tantas aplicações diárias, mas ajuda você a trabalhar com triângulos mais prontamente. É um suplemento útil para geometria e medidas reais e, como tal, vale a pena desenvolver uma compreensão dos princípios básicos, mesmo se você nunca quiser progredir mais.

Continua a:
Geometria
Introdução à Álgebra