Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas

Veja também: Coordenadas cartesianas

Nossa página em Coordenadas cartesianas apresenta o tipo mais simples de sistema de coordenadas, onde os eixos de referência são ortogonais (em ângulos retos) entre si. Na maioria das aplicações cotidianas, como desenhar um gráfico ou ler um mapa, você usaria os princípios dos sistemas de coordenadas cartesianas. Nessas situações, a posição única e exata de cada ponto de dados ou referência de mapa é definida por um par de coordenadas (x, y) (ou (x, y, z) em três dimensões). As coordenadas são o 'endereço' do ponto, sua localização em relação a uma posição conhecida chamada de origem , dentro de uma grade bidimensional ou tridimensional em uma superfície plana ou espaço 3D retangular.

No entanto, alguns aplicativos envolvem curvado linhas, superfícies e espaços. Aqui, as coordenadas cartesianas são difíceis de usar e torna-se necessário usar um sistema derivado de formas circulares, como sistemas de coordenadas polares, esféricas ou cilíndricas.


Por que as coordenadas polares, esféricas e cilíndricas são importantes?

Em situações cotidianas, é muito mais provável que você encontre sistemas de coordenadas cartesianas do que polares, esféricos ou cilíndricos. No entanto, as coordenadas polares bidimensionais e seus parentes tridimensionais são usados ​​em uma ampla gama de aplicações, desde engenharia e aviação até animação por computador e arquitetura.



Você pode precisar usar coordenadas polares em qualquer contexto onde haja simetria circular, esférica ou cilíndrica na forma de um objeto físico, ou algum tipo de movimento circular ou orbital (oscilatório).



O que isso significa?

As formas ou estruturas fisicamente curvas incluem discos, cilindros, globos ou cúpulas. Podem ser qualquer coisa, desde vasos de pressão contendo gases liquefeitos até os muitos exemplos de estruturas em cúpula em obras-primas arquitetônicas antigas e modernas.

Físicos e engenheiros usam coordenadas polares quando estão trabalhando com uma trajetória curva de um objeto em movimento (dinâmica) e quando esse movimento é repetido para frente e para trás (oscilação) ou girando e girando (rotação). Os exemplos incluem movimento orbital, como o dos planetas e satélites, um pêndulo oscilante ou vibração mecânica. Em um contexto elétrico, as coordenadas polares são usadas no projeto de aplicações que usam corrente alternada; técnicos de áudio os usam para descrever a 'área de captação' dos microfones; e são usados ​​na análise de temperatura e campos magnéticos.

eu quero escrever uma carta para alguém



Uma ênfase na exploração


O uso mais familiar em um contexto cotidiano talvez seja na navegação. Exploradores ao longo da história confiaram na compreensão das coordenadas polares.

Os navios e aeronaves navegam usando bússolas que indicam a direção da viagem (conhecido como um cabeçalho ) em relação a uma direção conhecida, que é o norte magnético. O rumo é medido como um ângulo do norte direto (0 °), no sentido horário em torno da bússola, então o leste é 90 °, o sul 180 ° e o oeste 270 °.

Os satélites GPS podem apontar a posição de uma embarcação com grande precisão no mundo de hoje, mas mesmo agora os marítimos e aviadores precisam entender os princípios da navegação clássica.



Como são definidas as coordenadas polares, esféricas e cilíndricas?

Nesses casos e em muitos outros, é mais apropriado usar uma medida de distância ao longo de uma linha orientada em um radial direção (com sua origem no centro do círculo, esfera ou arco) combinada com um ângulo de rotação, do que usar um sistema de coordenadas ortogonais (cartesianas).

A trigonometria pode então ser usada para converter entre os dois tipos de sistema de coordenadas. Para mais informações sobre isso e a teoria por trás disso, dê uma olhada em nossas páginas em formas curvas , formas tridimensionais e trigonometria .

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares



Em aplicações matemáticas onde é necessário usar coordenadas polares, qualquer ponto no plano é determinado por sua distância radial (r ) da origem (o centro de curvatura ou uma posição conhecida) e um ângulo theta ( theta ) (medido em radianos).

O ângulo ( theta ) é sempre medido a partir do (x ) -eixo à linha radial da origem ao ponto (veja o diagrama).

Da mesma forma que um ponto em coordenadas cartesianas é definido por um par de coordenadas ( (x, y )), em coordenadas radiais ele é definido pelo par ( (r, theta )). Usando Pitágoras e trigonometria, podemos converter entre as coordenadas cartesianas e polares:



$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 quad text {e} quad tan theta = frac {y} {x} $$

E de volta:

$$ x = r cos theta quad text {e} quad y = r sin theta $$

Sistemas de Coordenadas Esféricas e Cilíndricas

Esses sistemas são parentes tridimensionais do sistema de coordenadas polares bidimensional.

ao dar feedback a um subordinado, um gerente deve
Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas cilíndricas são mais fáceis de entender do que esféricos e são semelhantes ao sistema cartesiano tridimensional (x, y, z). Neste caso, o plano ortogonal x-y é substituído pelo plano polar e o eixo z vertical permanece o mesmo (veja o diagrama).

A conversão entre os sistemas cilíndrico e cartesiano é a mesma que para o sistema polar, com a adição da coordenada z, que é a mesma para ambos:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {e} quad z = z $$

$$ x = r cos theta, quad y = r sin theta quad text {e} quad z = z $$

Superfícies do Sistema Cilíndrico:


  • Se você tornar (z ) uma constante, terá um plano circular plano.
  • Se você tornar ( theta ) uma constante, terá um plano vertical.
  • Se você tornar (r ) constante, terá uma superfície cilíndrica.

Coordenadas Esféricas

O sistema de coordenadas esféricas é mais complexo. É muito improvável que você o encontre nas situações do dia-a-dia. É usado principalmente em aplicações complexas de ciência e engenharia. Por exemplo, os campos elétricos e gravitacionais mostram simetria esférica.

Coordenadas esféricas definir a posição de um ponto por três coordenadas rho ( ( rho ) ), theta ( ( theta )) e phi ( ( phi )).

( rho ) é a distância da origem (semelhante a (r ) em coordenadas polares), ( theta ) é o mesmo que o ângulo em coordenadas polares e ( phi ) é o ângulo Entre o (com) -eixo e a linha da origem ao ponto.

Da mesma forma que a conversão entre coordenadas cartesianas e polares ou cilíndricas, é possível converter entre coordenadas cartesianas e esféricas:

$$ x = rho sin phi cos theta, quad y = rho sin phi sin theta quad text {e} quad z = rho cos phi $$

$$ p ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {e} quad tan phi = frac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} $$

Superfícies em um sistema esférico:


  • Se você fizer ( rho ) uma constante, terá uma esfera.
  • Se você tornar ( theta ) uma constante, terá um plano vertical.
  • Se você tornar ( phi ) uma constante, terá um plano horizontal (ou um cone).

Latitude e longitude, mapas e navegação

A aplicação mais familiar de coordenadas esféricas é o sistema de latitude e longitude que divide a superfície da Terra em uma grade para fins de navegação. As distâncias entre as linhas na grade não são medidas em milhas ou quilômetros, mas em graus e minutos.

como encontrar a área total

As linhas de latitude são fatias horizontais do globo. A fatia no Equador está a 0 ° de latitude e os pólos estão a ± 90 °. Essas linhas são chamadas de paralelos.

As linhas de longitude são como as cunhas de uma laranja, medidas radialmente a partir de uma linha vertical de simetria conectando os pólos. Essas linhas são chamadas de meridianos. A linha de referência de 0 ° de longitude é conhecida como Meridiano de Greenwich, que passa pelo Observatório Real de Greenwich, Londres.

a Terra

Para usar este sistema 3D para navegação, no entanto, a grade curva precisa ser transferida para 'cartas' planas (mapas da costa e do fundo do oceano para marítimos) usando um projeção . Desta forma, os gráficos podem ser usados ​​como mapas convencionais com um sistema de grade ortogonal, e as regras de coordenadas cartesianas podem ser aplicadas.

Primeiro imagine embrulhar um pedaço de papel ao redor de um globo, fazendo um cilindro. A imagem no gráfico é projetada da esfera tridimensional para a folha de papel bidimensional. Este é um método específico usado por cartógrafos chamado de Projeção Mercator .

As linhas de grade em uma carta náutica ainda estão em graus e minutos e as distâncias são medidas em milhas náuticas. Uma milha náutica equivale a um minuto de latitude.


Conclusão

É improvável que você precise usar coordenadas polares ou esféricas, a menos que trabalhe em uma função que exija especificamente, mas é útil estar ciente do que são e como são usadas.

Também é fascinante entender como um mapa com uma forma 3D como o globo pode ser traduzido em gráficos planos que permitiram aos marítimos viajar pelo globo por centenas de anos.


Continua a:
Ângulos
Polígonos