Transformações simples de formas bidimensionais

Veja também: Propriedades dos polígonos

Formas planas em duas dimensões (desenhadas em um pedaço de papel plano, por exemplo) têm propriedades mensuráveis ​​além de apenas suas medidas físicas de comprimentos laterais, ângulos internos e área. Eles podem sofrer transformações , por meio do qual eles podem mudar de posição ou tamanho, ou 'proporção' (quão altos e finos ou curtos e largos eles são).

Esta página explora congruência, simetria, reflexão, translação e rotação . Esses conceitos são sobre como uma forma posição mudanças, em relação a uma referência, como uma linha ou um ponto.

Deparamo-nos com essas ideias regularmente na vida cotidiana, em tudo, desde o design de produtos, arquitetura e engenharia, até ocorrências no mundo natural. Até mesmo combinar o padrão em um rolo de papel de parede envolve essas idéias geométricas.




Congruência

A matemática está repleta de terminologias complexas, mas às vezes um termo complicado pode significar algo realmente simples. Isso é verdade para congruência.



Duas formas que são congruente tenha o mesmo tamanho e a mesmo formato . É simples assim!

No diagrama abaixo, as formas PARA , B , C e D são todos congruentes. As formas E, F, G e H não são congruentes.

Congruência

As formas podem ser congruentes mesmo que tenham sido giradas ou refletidas.


Pegue um pedaço de papel vegetal e trace sobre a forma A. A forma traçada pode ser colocada exatamente sobre a forma B. Você tem que girar em 90 °, mas ainda é o mesmo.

Para ajustar a forma traçada A sobre a Forma C, você precisa virar o papel vegetal. Isto é um reflexão de forma A, mas ainda é o mesmo.

Então, se você girá-lo um pouco mais, você alcançará a forma D.



Agora pegue sua forma traçada A e tente encaixá-la exatamente nas formas E, F G e H. Não importa quantas vezes você gire ou vire seu papel, ele não se encaixará exatamente. Essas formas, portanto, não podem ser descritas como congruentes com as formas A, B, C e D.

A congruência é comparativa


A forma A não pode ser descrita como 'congruente' por si só. Se você olhar para a Forma A sozinha, pode dizer que é um hexágono irregular e pode medir seu perímetro e área. No entanto, ele não pode ser descrito como congruente até que haja outra forma para compará-lo.

A forma G, por exemplo, não é congruente com nenhuma das outras formas em nosso diagrama. Mas se você tiver um grupo de formas iguais à forma G, então a forma G seria congruente com todas essas formas.


Simetria

Uma forma pode ser descrita como simétrico se ele tem uma propriedade que os matemáticos se referem como simetria .



A forma mais simples de simetria é simetria de linha .

Simetria de linha é uma forma de reflexão (que é abordado posteriormente nesta página) e às vezes é referido como simetria de espelho . Isso significa que se você colocasse um espelho ao longo da linha de simetria, o reflexo da forma no espelho seria idêntico à forma sem o espelho no lugar.

A letra A, por exemplo, possui uma única linha vertical de simetria, do ápice à base:

Simetria de A maiúsculo.



É possível que as formas tenham várias linhas de simetria. Na verdade, para polígonos regulares, o número de linhas de simetria é o mesmo que o número de lados da forma . Portanto, um hexágono (seis lados) tem seis linhas de simetria e um dodecágono (12 lados) tem 12 linhas de simetria. Um círculo, portanto, tem um número infinito de linhas de simetria.

Linhas de Simetria

Assimetria

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Se uma forma não tiver nenhuma linha de simetria, como a forma no exemplo de congruência, ela é descrita como assimétrico . Isso também é verdadeiro para o trapézio e o paralelogramo mostrados no diagrama acima.

Outra forma comum de simetria é Simetria rotacional . Se você girar algo, basta girá-lo. Isso é o mesmo com a simetria rotacional - a forma é girada um número exato de vezes em torno de um ponto .

O ordem de simetria rotacional é o número de vezes que a forma é replicada em uma rotação completa . As repetições estão sempre em ângulos regulares, como os lados de um polígono regular.

Logotipo da reciclagem - simetria rotacional.

O exemplo mais comumente reconhecido de simetria rotacional é possivelmente o símbolo de reciclagem com três setas.

Este logotipo familiar tem um simetria rotacional de ordem 3 , ou seja, a forma é replicada três vezes quando girada em torno do ponto central do logotipo.

Qualquer forma pode ter simetria rotacional - o diagrama abaixo mostra a forma A do nosso exemplo de congruência, com um ordem de 4 :

Simetria rotacional

Reflexão

Na seção sobre simetria de espelho acima, aprendemos que se um espelho for colocado ao longo da linha de simetria, a imagem refletida será igual à imagem sem o espelho. Este é um tipo específico de reflexão. UMA linha de espelho ou linha de reflexão pode existir em qualquer lugar em relação a uma forma, não apenas ao longo de uma linha de simetria. A imagem da forma do outro lado da linha do espelho é a sua reflexão .

No diagrama abaixo, PARA é a forma original. A reflexão mais simples de entender é quando a forma PARA é refletido em uma linha de espelho vertical que é paralela ao seu lado mais longo. A forma refletida é B .

Uma linha de espelho pode ser colocada em qualquer lugar e em qualquer ângulo em relação à forma original. A linha do espelho diagonal está em aproximadamente 45 ° para o lado mais longo da forma PARA e a forma refletida é C .

Transformação de forma: forma refletida em uma linha de espelho vertical e diagonal.

Desenho de formas refletidas

Quando você precisa desenhar o reflexo de uma forma em uma página, pode ter uma ideia de como será a aparência usando um espelho.

Você pode traçar sua imagem em papel vegetal, dobrar o papel ao longo da linha de reflexo (ou linha do espelho) e, em seguida, traçar o reflexo. Mas se você precisar desenhá-lo com precisão, precisará de papel milimetrado e de uma abordagem lógica.

Como desenhar reflexos em uma linha de espelho.

No diagrama acima, o triângulo original é rotulado como ABC. A linha do espelho é desenhada em vermelho e rotulada linha de reflexão .
O triângulo ABC refletido na linha do espelho é o triângulo A’B’C ’.

As regras de reflexão

  • Cada ponto e seu reflexo estão exatamente à mesma distância da linha do espelho.

  • A linha que conecta um ponto com seu reflexo é perpendicular (em ângulos retos) à linha do espelho.


No diagrama, a linha que conecta o ponto A a A 'é chamada de Linha de construção e ilustra essas regras: A distância entre A e a linha do espelho é a mesma que a distância entre A 'e a linha do espelho; e a linha de construção é perpendicular à linha do espelho (mostrada pelo pequeno quadrado em seu centro).

Ao desenhar uma forma refletida, você precisa usar esta abordagem sistemática:

  • Comece em um canto (ponto A em nosso exemplo) e desenhe uma linha de construção desse ponto através da linha do espelho. Use um transferidor ou um quadrado definido para certificar-se de que esta linha está em ângulo reto com a linha do espelho.

  • Meça com precisão a distância ao longo da linha de construção do ponto (A) até a linha do espelho e anote a medição. Começando no ponto onde a linha de construção e a linha de espelho se cruzam (cruzam), agora meça a mesma distância ao longo da linha de construção no lado oposto da linha de espelho e desenhe um ponto neste ponto. Este é o seu ponto A '.

  • Repita o processo para os pontos B e C (ou mais, dependendo de sua forma), então junte cuidadosamente seus pontos refletidos na ordem em que você os desenhou, para criar sua forma refletida.

Tudo isso parece muito complicado, mas se torna mais fácil com a prática. Pode ser um exercício divertido para aprimorar suas habilidades espaciais.


Tradução

Tradução é outro daqueles termos matemáticos que parece muito mais difícil do que realmente é. Na verdade, é muito fácil!

A translação é o movimento de uma forma de um lugar para outro sem rotação ou reflexão.

Ou seja, se cada ponto na forma original se move ao longo de uma linha reta, exatamente na mesma distância e exatamente na mesma direção (no mesmo ângulo), então esta é uma translação dessa forma.

Tradução de forma

O diagrama acima ilustra a translação - cada ponto na forma à esquerda é movido quatro quadrados para a direita.

No entanto, o diagrama abaixo não pode ser descrito como uma tradução, porque a forma é Ambas traduzido (movido em linha reta) e rodado:

Não é uma tradução - traduzida e rotacionada.

Uma nota sobre vetores


No diagrama abaixo, cada ponto na forma original é traduzido cinco quadrados à direita e dois quadrados verticalmente para baixo:

Exemplo de vetor de coluna

Uma ferramenta matemática chamada de coluna vetor pode ser usado para descrever esta tradução. São dois números entre colchetes alinhados verticalmente (em uma coluna).

Portanto, ( begin {bmatrix} 5 \ -2 end {bmatrix} ) é a translação 5 unidades para a direita e 2 unidades para baixo.

Os vetores são apresentados na forma ( begin {bmatrix} x \ y end {bmatrix} )

Onde (x ) é o eixo horizontal (translações positivas para a direita, negativas para a esquerda) e (Y ) é o eixo vertical (positivo para cima, negativo para baixo, daí porque a translação de duas unidades para baixo é escrita -2).

Para mais em (x ) e (Y ) eixos, veja nossa página em Coordenadas cartesianas .

Vetores são incrivelmente úteis em matemática, porque são capazes de descrever coisas que têm magnitude e direção . Os vetores são muito importantes em muitas aplicações e o estudo do movimento é um exemplo. Neste caso, as quantidades do vetor incluem velocidade , aceleração , força , deslocamento e impulso .


Rotação

Descobrimos o conceito de rotação de uma forma na seção de simetria rotacional acima. No caso de simetria rotacional, a forma era girada e repetida em intervalos angulares precisos em torno de seu centro.

Rotação de uma forma sem simetria pode ser através de qualquer ângulo, horário ou anti-horário, em torno de um único ponto. Este ponto é importante e é chamado de centro de rotação .

O diagrama abaixo mostra um triângulo retângulo A girado em torno de um ponto O. O triângulo B é o que parece quando é girado no sentido anti-horário em 90 °. O triângulo C é o triângulo A girado no sentido horário em 180 °.

Rotação. Diagrama mostrando um triângulo retângulo girado em 90 e 180 graus.

A regra de rotação:


A distância de qualquer ponto na forma do centro de rotação sempre permanece a mesma.

Portanto, se você pegasse uma bússola, colocasse seu ponto no centro de rotação e unisse o vértice de cada um dos triângulos no diagrama acima, teria desenhado um círculo perfeito - conforme indicado pelo círculo vermelho.


Conclusão

As formas bidimensionais raramente são encontradas isoladas no mundo real, mas são repetidas, refletidas, transladadas e giradas. Isso é o que os matemáticos chamam de transformações. Encontramos exemplos em tudo, desde logotipos de produtos a enormes estruturas de engenharia e obras-primas arquitetônicas.

Existem muitos tipos de transformação matematicamente mais complexos, para os quais conceitos mais avançados, como vetores, tornam-se úteis. Embora esta página apenas dê uma introdução a alguns dos conceitos básicos, esperamos que tenha deixado você com muito para REFLETIR sobre!


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