Formas tridimensionais: poliedros, sólidos curvos e área de superfície

Veja também: Propriedades dos polígonos

Esta página examina as propriedades de formas tridimensionais ou 'sólidas'.

Uma forma bidimensional tem comprimento e largura. Uma forma sólida tridimensional também tem profundidade. As formas tridimensionais, por natureza, possuem um interior e um exterior, separados por uma superfície. Todos os itens físicos, coisas que você pode tocar, são tridimensionais.

Esta página cobre sólidos de lados retos chamados poliedros, que são baseados em polígonos, e sólidos com curvas, como globos, cilindros e cones.




Poliedros

Poliedros (ou poliedros) são formas sólidas de lados retos. Os poliedros são baseados em polígonos, formas planas bidimensionais com linhas retas.

Veja nossa pagina Propriedades dos polígonos para saber mais sobre como trabalhar com polígonos.

Poliedros são definidos como tendo:

  • Direto arestas .
  • Lados planos chamados rostos .
  • Cantos, chamados vértices .

Os poliedros também são frequentemente definidos pelo número de arestas, faces e vértices que possuem, bem como se suas faces são todas do mesmo formato e tamanho. Como os polígonos, os poliedros podem ser regulares (com base em polígonos regulares) ou irregulares (com base em polígonos irregulares). Os poliedros também podem ser côncavos ou convexos.

Um dos poliedros mais básicos e familiares é o cubo. Um cubo é um poliedro regular, com seis faces quadradas, 12 arestas e oito vértices.


Propriedades dos poliedros básicos. Poliedros regulares, prismas e pirâmides.

Poliedros regulares (sólidos platônicos)

Os cinco sólidos regulares são uma classe especial de poliedros, cujas faces são idênticas, sendo cada face um polígono regular. Os sólidos platônicos são:

  • Tetraedro com quatro faces de triângulo equilátero.
  • Cubo com seis faces quadradas.
  • Octaedro com oito faces de triângulo equilátero.
  • Dodecaedro com doze faces de pentágono.
  • Icosaedro com vinte faces de triângulos equiláteros.
Veja o diagrama acima para uma ilustração de cada um desses poliedros regulares.

O que é um prisma?

PARA prisma é qualquer poliedro que tem dois pontas e lados planos combinando . Se você cortar um prisma em qualquer lugar ao longo de seu comprimento, paralelo a uma extremidade, sua seção transversal será a mesma - você terminaria com dois prismas. Os lados de um prisma são paralelogramos - formas de quatro lados com dois pares de lados de igual comprimento.

Antiprismas são semelhantes a prismas regulares, suas extremidades coincidem. No entanto, os lados dos anti-prismas são feitos de triângulos e não de paralelogramos. Os antiprismas podem se tornar muito complexos.

O que é uma pirâmide?

Uma pirâmide é um poliedro com um base poligonal que se conecta a um ápice (ponto superior) com lados retos.

Embora tenhamos tendência a pensar em pirâmides de base quadrada, como as que os antigos egípcios construíram, elas podem, na verdade, ter qualquer base poligonal, regular ou irregular. Além disso, uma pirâmide pode ter um ápice no centro direto de sua base, um Pirâmide Direita , ou pode ter o ápice fora do centro quando é um Pirâmide Oblíqua .

Sólido Arquimedeano - Cubo Truncado

Poliedros mais complexos

Existem muitos outros tipos de poliedros: simétricos e assimétricos, côncavos e convexos.

Sólidos de Arquimedes, por exemplo, são compostos de pelo menos dois polígonos regulares diferentes.

O cubo truncado (conforme ilustrado) é um sólido arquimediano com 14 faces. 6 das faces são octógonos regulares e as outras 8 são triângulos regulares (equiláteros). A forma possui 36 arestas e 24 vértices (cantos).


Formas tridimensionais com curvas

Formas sólidas que incluem uma borda curva ou redonda não são poliedros. Os poliedros só podem ter lados retos.

Muitos dos objetos ao seu redor incluirão pelo menos algumas curvas. Em geometria, os sólidos curvos mais comuns são cilindros, cones, esferas e toros (o plural de toro).

Formas tridimensionais comuns com curvas:
Cilindro Cone
Cilindro Cone
Um cilindro tem a mesma seção transversal de uma extremidade à outra. Os cilindros têm duas extremidades idênticas de um círculo ou oval. Embora semelhantes, os cilindros não são prismas, pois um prisma tem (por definição) paralelogramo, lados planos. Um cone tem uma base circular ou oval e um ápice (ou vértice). O lado do cone afunila suavemente até o ápice. Um cone é semelhante a uma pirâmide, mas distinto, pois um cone tem um único lado curvo e uma base circular.
Esfera Toro
Esfera Toro
Com a forma de uma bola ou de um globo, uma esfera é um objeto completamente redondo. Cada ponto na superfície de uma esfera está a uma distância igual do centro da esfera. Com a forma de um anel, um pneu ou um donut, um toro de anel regular é formado pela rotação de um círculo menor em torno de um círculo maior. Existem também formas mais complexas de tori.

Superfície

Nossa página em Calculando Área explica como calcular a área das formas bidimensionais e você precisa entender esses princípios básicos para calcular a área da superfície das formas tridimensionais.

Para formas tridimensionais, falamos sobre área de superfície , evitar confusão.

Você pode usar seu conhecimento sobre a área das formas bidimensionais para calcular a área da superfície de uma forma tridimensional, uma vez que cada face ou lado é efetivamente uma forma bidimensional.

Portanto, você calcula a área de cada rosto e depois os soma.

Tal como acontece com as formas planas, a área da superfície de um sólido é expressa em unidades quadradas: cmdois, polegadasdois, mdoise assim por diante. Você pode encontrar mais detalhes sobre unidades de medida em nossa página Sistemas de Medição .

Exemplos de cálculos de área de superfície

Área de superfície de um cubo

Cubo

O área de superfície de um cubo é a área de uma face (comprimento x largura) multiplicada por 6, porque todas as seis faces são iguais.

Como a face de um cubo é um quadrado, você só precisa fazer uma medição - o comprimento e a largura de um quadrado são, por definição, os mesmos.

Uma face deste cubo é, portanto, 10 × 10 cm = 100cmdois. Multiplique por 6, o número de faces de um cubo, e descobrimos que a área da superfície deste cubo é 600 cmdois.

Outros poliedros regulares

Da mesma forma, a área de superfície dos outros poliedros regulares (sólidos platônicos) pode ser calculada encontrando a área de um lado e então multiplicando a resposta pelo número total de lados - veja o diagrama de Poliedros Básicos acima.

Se a área de um pentágono constituindo um dodecaedro é de 22 cmdoisem seguida, multiplique isso pelo número total de lados (12) para obter a resposta 264 cmdois.


Pirâmide

Para calcular o área de superfície de uma pirâmide padrão com quatro lados triangulares iguais e uma base quadrada:

Primeiro calcule a área do comprimento da base (quadrado) × largura.

Em seguida, calcule a área de um lado (triângulo). Meça a largura ao longo da base e, em seguida, a altura do triângulo (também conhecido como comprimento inclinado) do ponto central da base ao ápice.

Você pode então dividir sua resposta por 2 para obter a área de superfície de um triângulo e depois multiplicar por 4 para obter a área de superfície de todos os quatro lados, ou simplesmente multiplicar a área de superfície de um triângulo por 2.

Finalmente, some a área da base e os lados para encontrar a área total da superfície da pirâmide.

Para calcular o área de superfície de outros tipos de pirâmide, some a área da base (conhecida como área da base) e a área dos lados (área lateral), você pode precisar medir os lados individualmente.

como este símbolo é chamado em matemática

Diagramas de Rede

Uma rede geométrica é um 'padrão' bidimensional para um objeto tridimensional. As redes podem ser úteis ao calcular a área da superfície de um objeto tridimensional. No diagrama abaixo você pode ver como as pirâmides básicas são construídas, se a pirâmide for 'desdobrada' você fica com a rede.

Redes de Pirâmide

Para obter mais informações sobre diagramas de rede, consulte nossa página Formas e redes 3D .


Área de superfície de um prisma

Prisma

Para calcular o área de superfície de um prisma :

Os prismas têm duas extremidades iguais e lados planos do paralelogramo.

Calcule a área de uma extremidade e multiplique por 2.

Para um prisma regular (onde todos os lados são iguais) calcule a área de um dos lados e multiplique pelo número total de lados.

Para prismas irregulares (com lados diferentes) calcule a área de cada lado.

Some as duas respostas (extremidades × lados) para encontrar a área total da superfície do prisma.


Cilindro

Área de superfície de um cilindro

Exemplo:
Raio = 5cm
Altura = 10cm

Para calcular o área de superfície de um cilindro é útil pensar sobre as partes componentes da forma. Imagine uma lata de milho doce - ela tem um topo e um fundo, ambos círculos. Se você cortar o lado ao longo de seu comprimento e achatá-lo, terá um retângulo. Portanto, você precisa encontrar a área de dois círculos e um retângulo.

Primeiro calcule a área de um dos círculos.

A área de um círculo é π (pi) × raiodois.

Assumindo um raio de 5 cm, a área de um dos círculos é 3,14 × 5dois= 78,5cmdois.

Multiplique a resposta por 2, pois há dois círculos de 157 cmdois

A área da lateral do cilindro é o perímetro do círculo × a altura do cilindro.

O perímetro é igual a π x 2 × raio. Em nosso exemplo, 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Meça a altura do cilindro - neste exemplo, a altura é de 10 cm. A área da superfície lateral é 31,4 × 10 = 314 cmdois.

A área de superfície total pode ser encontrada adicionando a área dos círculos e o lado juntos:

157 + 314 = 471cmdois


Calcule a área da superfície de um cone.

Exemplo:
Raio = 5cm
Comprimento da inclinação = 10cm

Cone

Ao calcular o área de superfície de um cone você precisa usar o comprimento da 'inclinação', bem como o raio da base.

No entanto, é relativamente simples de calcular:

A área do círculo na base do cone é, π (pi) × raiodois.

Neste exemplo, a soma é 3,14 × 5dois= 3,14 × 25 = 78,5 cmdois

A área da lateral, a seção inclinada, pode ser encontrada usando esta fórmula:

π (pi) × raio × comprimento da inclinação.

Em nosso exemplo, a soma é 3,14 × 5 × 10 = 157 cmdois.

Finalmente, adicione a área da base à área lateral para obter a área total da superfície do cone.

78,5 + 157 = 235,5cmdois


Calcule a área da superfície de uma esfera.

Bola de tênis:
Diâmetro = 2,6 polegadas

Esfera

O área de superfície de uma esfera é uma expansão relativamente simples da fórmula para a área de um círculo.

4 × π × raiodois.

Para uma esfera, geralmente é mais fácil medir o diâmetro - a distância através da esfera. Você pode então encontrar o raio que é a metade do diâmetro.

O diâmetro de uma bola de tênis padrão é de 2,6 polegadas. O raio é, portanto, 1,3 polegadas. Para a fórmula, precisamos do raio ao quadrado. 1,3 × 1,3 = 1,69.

A área de superfície de uma bola de tênis é, portanto:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 polegadasdois.


Calcule a área da superfície de um toro.

Exemplo:
R (raio grande) = 20 cm
r (raio pequeno) = 4 cm

Toro

Para calcular o área de superfície de um toro você precisa encontrar dois valores de raio.

O raio grande ou maior (R) é medido do meio do orifício até o meio do anel.

O raio pequeno ou menor (r) é medido do meio do anel até a borda externa.

O diagrama mostra duas visualizações de um toro de exemplo e como medir seus raios (ou raios).

O cálculo para encontrar a área da superfície é em duas partes (uma para cada raio). O cálculo é o mesmo para cada parte.

A fórmula é: área de superfície = (2πR) (2πr)

Para calcular a área de superfície do toro de exemplo.

(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Multiplique as duas respostas para encontrar a área total da superfície do toro do exemplo.

símbolos matemáticos e o que eles significam

125,6 × 25,12 = 3155,072 cmdois.


Preenchendo um Sólido: Volume

Com formas tridimensionais, você também pode precisar saber quanto volume eles têm.

Em outras palavras, se você os enchesse com água ou ar, de quanto enchimento precisaria?

Isso é abordado em nossa página Calculando o Volume .

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